ОГЭ · 9 класс

Как решать задание 18 ОГЭ: фигуры на клетчатой бумаге (формула Пика)

Как быстро найти площадь, длину отрезка и тангенс угла по клеткам — и где автоматом работает формула Пика.

18 июня 2026 г.8 мин чтения

Что такое задание 18 и что спрашивают

Короткий ответ

Задание 18 — это фигура, нарисованная по клеткам. Сторона клетки равна 1, и от тебя хотят либо площадь фигуры, либо длину отрезка, либо тангенс/синус/косинус угла. Решается без формул сложнее теоремы Пифагора — достаточно уметь считать клетки.

Это задание части 1: 1 первичный балл, ответ — число, оформление не нужно. Главная ловушка не в сложности, а в спешке: фигура простая, поэтому её недосчитывают на одну клетку. Дальше разберём три типа: площадь, длина и угол.

Запомни главное правило всей темы: одна клетка по горизонтали или вертикали — это единица длины, одна клетка целиком — это единица площади. Дальше всё сводится к аккуратному пересчёту.

Площадь по клеткам — базовый способ

Если фигура прямоугольная или составлена из прямоугольников, просто посчитай целые клетки внутри. Прямоугольник $a$ на $b$ клеток имеет площадь $a\cdot b$ . Тут ошибиться сложно.

Для треугольника или четырёхугольника со скошенными сторонами работает метод «достроить и вычесть». Обводишь фигуру минимальным прямоугольником, считаешь его площадь, а потом вычитаешь площади прямоугольных треугольников и прямоугольников, которые попали в этот прямоугольник, но не в саму фигуру.

Опиши вокруг фигуры прямоугольник по линиям сетки — найди его площадь $S_{\text{пр}}$ .
Раздели «лишнее» на прямоугольные треугольники и прямоугольники — их катеты считаешь по клеткам.
Площадь прямоугольного треугольника с катетами $a$ и $b$ равна $\dfrac{a\cdot b}{2}$ .
Вычти всё лишнее из площади прямоугольника — получишь площадь фигуры.

Пример

Треугольник вписан в прямоугольник 4 на 3 ( $S_{\text{пр}}=12$ ). По углам остаются три прямоугольных треугольника с площадями $\dfrac{4\cdot 1}{2}=2$ , $\dfrac{3\cdot 2}{2}=3$ и $\dfrac{2\cdot 1}{2}=1$ . Площадь фигуры: $12-2-3-1=6$ .

Описываем прямоугольник 4 × 3 (S = 12), отсекаем угловые прямоугольные треугольники — остаётся S = 6.

Формула Пика для непрямых фигур

Когда у фигуры много вершин в узлах сетки, считать треугольники долго. Тут выручает формула Пика: площадь зависит только от того, сколько узлов сетки попало внутрь фигуры и сколько на её границу.

$S = i + \dfrac{b}{2} - 1$

i — число узлов сетки внутри фигуры, b — число узлов на её границе (включая вершины)

Считаешь узлы аккуратно: сначала точки строго внутри ( $i$ ), потом точки, лежащие на сторонах и в вершинах ( $b$ ). Подставляешь — и сразу получаешь площадь, без всякого достраивания.

Пример с формулой Пика

Пусть внутри фигуры лежат 4 узла ( $i=4$ ), а на границе — 6 узлов ( $b=6$ ). Тогда $S = 4 + \dfrac{6}{2} - 1 = 4 + 3 - 1 = 6$ . Тот же ответ, что и через достраивание, но без лишних шагов.

Тёмные точки — узлы внутри (i = 4), красные — узлы на границе (b = 6). По формуле Пика S = 4 + 6/2 − 1 = 6.

Формула Пика работает для любого многоугольника, у которого все вершины стоят в узлах сетки. Если хоть одна вершина «между клетками» — Пик не применяй, считай достраиванием.

Длина отрезка и средняя линия по клеткам

Длину наклонного отрезка считаешь по теореме Пифагора. Отрезок — это гипотенуза прямоугольного треугольника, катеты которого идут вдоль клеток. Считаешь катеты $a$ и $b$ по сетке и подставляешь:

$d = \sqrt{a^2 + b^2}$

a и b — горизонтальный и вертикальный сдвиг отрезка в клетках

Пример

Отрезок сдвигается на 3 клетки вправо и на 4 вверх. Длина: $d=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$ .

Достраиваем прямоугольный треугольник: катеты 3 и 4 по клеткам, наклонный отрезок d = √(3² + 4²) = 5.

Средняя линия треугольника соединяет середины двух сторон и равна половине третьей стороны. Если просят её длину, найди по клеткам длину той стороны, которой она параллельна, и раздели на 2. Никакого Пифагора, если сторона горизонтальна или вертикальна.

Тангенс, синус, косинус по клеткам

Если угол острый и его стороны удобно ложатся на сетку, дострой прямоугольный треугольник. Тогда тангенс — это отношение противолежащего катета к прилежащему, причём оба катета меряешь прямо по клеткам.

$\tan\alpha = \dfrac{a}{b}$

a — противолежащий катет, b — прилежащий (оба считаешь по клеткам)

Для синуса и косинуса понадобится ещё и гипотенуза. Её длину находишь по Пифагору, как обычный наклонный отрезок, а дальше: $\sin\alpha=\dfrac{a}{c}$ и $\cos\alpha=\dfrac{b}{c}$ , где $c$ — гипотенуза.

Пример

У острого угла противолежащий катет 3 клетки, прилежащий 4. Тогда $\tan\alpha=\dfrac{3}{4}$ , гипотенуза $c=\sqrt{3^2+4^2}=5$ , значит $\sin\alpha=\dfrac{3}{5}$ , $\cos\alpha=\dfrac{4}{5}$ .

Противолежащий катет 3, прилежащий 4 — считаем прямо по клеткам: tan α = 3/4.

Типичные ошибки

Применяют формулу Пика, когда вершина фигуры не в узле сетки — формула даёт неверный результат.
В формуле Пика путают узлы на границе с узлами внутри: пересчитай ещё раз, медленно.
Забывают делить площадь прямоугольного треугольника на 2 — берут просто $a\cdot b$ .
Считают длину наклонного отрезка «по клеткам на глаз» вместо теоремы Пифагора.
Берут тангенс как прилежащий к противолежащему — порядок катетов важен.

Потренироваться онлайн

Тема набивается руками: пять-семь решённых фигур — и площадь по клеткам перестаёт быть проблемой. Бери задание 18 в тренажёре и решай с проверкой ответа.

Решать задание 18

Задание 18 ОГЭ — фигуры на клетчатой бумагетеория и задачи с ответами Решать ОГЭ онлайн в тренажёрепроверка ответа сразу

Что ещё повторить

Все формулы для ОГЭ по математикеПифагор, площади, средняя линия Задание 15 ОГЭ — треугольникиещё один балл по геометрии

Частые вопросы

Когда можно применять формулу Пика на ОГЭ?

Только когда все вершины фигуры стоят в узлах сетки. Тогда $S=i+\dfrac{b}{2}-1$ , где i — узлы внутри, b — узлы на границе. Если хоть одна вершина не в узле, считай площадь достраиванием до прямоугольника.

Как найти длину наклонного отрезка по клеткам?

Это гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами вдоль клеток. Считаешь горизонтальный сдвиг a и вертикальный b и применяешь теорему Пифагора: $d=\sqrt{a^2+b^2}$ .

Как посчитать тангенс острого угла по клеткам?

Дострой прямоугольный треугольник и возьми отношение противолежащего катета к прилежащему: $\tan\alpha=\dfrac{a}{b}$ . Оба катета меряешь прямо по клеткам.

Читать ещё

Как подготовиться к ОГЭ по математике: пошаговый планЧто учить в первую очередь, как распределить темы по месяцам и сколько решать в день, чтобы дойти до экзамена без паники — даже если сейчас уровень близок к нулю.Сколько баллов нужно на ОГЭ по математике: перевод в оценку 3, 4, 5Сколько первичных баллов нужно на тройку, четвёрку и пятёрку, почему без геометрии не сдать и какой порог в профильный 10 класс.Структура ОГЭ по математике: задания, время, что брать с собойСколько в экзамене заданий и частей, сколько он длится, что разрешено брать с собой и как из первичных баллов получается оценка.Типичные ошибки на ОГЭ по математике и как их не допуститьГде школьники чаще всего теряют баллы на ОГЭ по математике и как этого не допустить — от записи ответа до геометрии и части 2.

Готов решать?

Открой тренажёр ОГЭ: задания 1–25 с моментальной проверкой ответа и разбором. Бесплатно и без регистрации.

Получить помощь